Yannick Delbecque — site personnel

Les catégories dérivées

Sommaire

L'objectif principal de ce mémoire est de faire une démonstration complète de l'existence des catégories dérivées et de prouver quelques unes de leurs propriétés les plus importantes. Nous présenterons la localisation d'une catégorie par un système multiplicatif et nous démontrerons que la localisation d'une catégorie additive est aussi additive. Nous montrerons à l'aide des cônes que la catégorie des complexes modulo homotopie d'une catégorie abélienne \(\mathcal{K}(A)\) est une catégorie triangulée et aussi que la localisation d'une catégorie triangulée par un système multiplicatif compatible avec la structure triangulée est aussi triangulée, ce qui permettra de montrer l'existence des catégories dérivées et le fait qu'elles sont triangulées, en montrant que la famille des quasi-isomorphismes de \(\mathcal{K}(A)\) est un système multiplicatif dans \(\mathcal{K}(A)\). Nous utiliserons ensuite les catégories dérivées pour définir les foncteurs dérivées d'un foncteur exact à gauche.